Актуальность рассмотрения математических идей в обычной жизни возрастает в связи с тем, что с сожалением отмечаем отсутствие интереса к математике общества в целом и у большей части школьников – у тех, кто, стоит у основания математических знаний, т.е. изучает курс математики. Этот вывод я осмелилась сделать, обратившись к учащимся нашей школы с вопросами: «Какой предмет в школе для тебя является любимым?», «Для чего нужна нам математика?» и «Хотели ли бы вы продолжить свое математическое образование в будущем?». Большинство считают, что математика нам необходима только для счета. И в связи с этим, решила, что важность показа применения математических идей в жизни несомненна, т.к. постоянно мы сталкиваемся с различными задачами, решение которых требует от нас организовать математическую информацию так, чтобы найти простое, иногда и неожиданное решение, применив свои математические знания, логику, интуицию и т.п. Узнав однажды, что при разрезании двух обычных цилиндрических полосок, перпендикулярно склеенных между собой, получается результат непредсказуемый – прямоугольная рамка, я была в восторге. Теорема о том, что любой многоугольник, нарисованный на листе бумаги, после подходящего складывания бумаги, можно вырезать одним прямолинейным разрезом меня также заинтересовала. Эти факты и еще много вопросов: почему канализационные люки имеют форму круга, а не квадрата? почему цикл жизни определенного вида цикад составляют 13 и 17 лет, а не 12 и 16?, и многие другие побудили меня выяснить, как используются математические идеи в жизни. Это и является целью моей работы.

 Работая над этой темой, я поставила задачи:

изучить литературу, собрать задачи и составить сборник задач с необычными решениями,

попробовать доказать, что задача, которая кажется нам трудной, может иметь неожиданно простое решение,

 подготовить и провести математический вечер «Нет ничего практичнее хорошей теории!» с целью популяризации математики в жизни.

Объектом исследования я выбрала математические задачи, а предметом – задачи, решаемые неожиданными и практическими способами.

Методы исследования: изучение математической литературы, математические методы, графические методы, методы сравнения, анализа.

 Постановка задачи.

 В летний жаркий день одним из мест и средств спасения от зноя являются речные пляжи. Оказавшись на берегу реки мы выяснили к сожалению, что пляжные грибки заняты, а один был сломан, и от него остались только столбик диаметром 10 см и несколько плоских четырёхугольных кусков жести, похожих на те, что изображены на рис. 1 Стороны наших четырехугольников были разные (порядка 1-2 метра). Надо было что-то придумать! Рис1. Решили взять один кусок жести и поместить его на этот столб, чтобы получить хотя бы немного спасительной тени, для чего следует найти центр тяжести куска жести и поместить его на столб так, чтобы центр тяжести куска оказался над торцом столба и вбить его. Как нам найти этот центр тяжести? Практический способ решения задач. Очень просто. Надо подвесить кусок жести за одну из вершин из точки подвеса провести по жести мелом или угольком из костра вертикаль. Центр тяжести многоугольника располагается на этой линии. А потом мы возьмем другую вершину в качестве точки подвеса и проведем другую вертикальную прямую линию. Точка пересечения двух построенных нами линий и есть центр тяжести многоугольника. На рис. 2а и 2б вы видите, как это делается. В качестве отвеса мы использовали прищепку на нити. рис 2а рис 2б Жаль только, что на берегу применить этот способ нахождения центра тяжести не удастся: нам совсем неудобно и тяжело удерживать большой лист жести. Давайте поступим проще, будем искать центр тяжести опытным путём. Взгромоздим этот наш многоугольник на плоскую вершину столба и будем двигать его влево - вправо, туда- сюда, стараясь поместить его в центр тяжести на столбе. Конечно, рано или поздно мы и найдём нужное положение. Но такой хаотичный бессистемный поиск методом проб и ошибок надоест. При этом довольно долго придётся держать этот кусок на высоте на вытянутых руках. Такой способ не подходит. Попробуем другой. Диаметр нашего столба примерно 10 см. Значит, квадрат со стороной 3 см наверняка помещается в круг такого диаметра. Предлагаю нанести на наш многоугольник, пока он лежит в песке, прямоугольную сетку с шагом 3 см. Центр тяжести лежит в одном из квадратов. Затем каждый такой квадрат будем поочередно размещать над столбом. Рано или поздно многоугольник окажется в равновесии. Тем самым мы решим нашу задачу. При этом мы приближенно найдем центр тяжести. На практике так обычно и бывает. Если диаметр нашего столба уменьшить и соответственно уменьшить величину сетки, то центр тяжести можно найти с большей точностью. Ясно, что это точность может быть сколь угодно высокой. А рационально ли так поступать? Площадь квадратика нашей сетки- 9 квадратных сантиметров, площадь многоугольника - несколько квадратных метров. Делим второе на первое. Это сколько же испытаний нам придется проводить? Нет, так дело не пойдет. Теория Вот если бы этот кусок жести был кругом, квадратом или прямоугольником, то никакой проблемы у нас не было бы. Центр тяжести круга – это его геометрический центр. Для квадрата и прямоугольника – точка пересечения диагоналей. И для треугольника несложно найти его центр тяжести. Теория здесь простая.
Пусть дан треугольник АВС, масса которого равномерно распределена по его поверхности (рис. 3).
Рассмотрим одну сторону такого треугольника (например, АВ) и вообразим, что этот треугольник состоит из бесконечного количества отрезков, параллельных этой стороне. Легко понять, что центр тяжести каждого такого отрезка совпадает с его серединой и что все эти середины лежат на медиане АС1 треугольника. Отсюда следует, что центр тяжести всех отрезков (то есть центр тяжести треугольника ) также лежит на медиане АС1. Такие рассуждения можно провести для каждой стороны треугольника, и всякий раз центр тяжести будет лежать на соответствующей медиане, т.е центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. А теперь найдем центр тяжести четырехугольника. А поступить можно так. Проведём в четырёхугольнике диагональ. В каждом из двух получившихся треугольников проведём две медианы (рис.4). Их точки пересечения М1, М2- центры тяжести двух треугольников. Следовательно, центр тяжести четырёхугольника лежит на прямой М1М2. Используя другую диагональ четырёхугольника, мы построим вторую прямую N1N2, на которой лежит центр тяжести четырёхугольника. Точка пересечения прямых линий ММ2 и N1N2 и есть центр тяжести четырёхугольника. рис 4 Решение с применением теории И вот с помощью нитки отмерим длину одной из сторон четырёхугольника. Сложив нитку вдвое, отметили середину этой стороны, проделаем это для всех остальных сторон четырёхугольника и прочертим угольком четыре медианы в двух треугольниках, затем проведем линию М1М2. А потом - и линию N1N2. Занимаясь этими элементарными геометрическими построениями, мы найдем центр тяжести, а потом можем прибить кусок жести к столбу. При этом вспомним народную поговорку: нет ничего практичнее хорошей теории! Теперь немного подумав, можем найти центр тяжести плоского однородного пятиугольника. А как надо поступить, если четырёхугольник невыпуклый?

Задача: Среди всех простых замкнутых кривых данной длины найти кривую, ограничивающую фигуру наибольшей площади. По легенде, финикийская царевна Дидона заключила договор на покупку земли на побережье Средиземного моря с местным предводителем Ярбом. Она попросила немного земли - столько, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Дидона разрезала шкуру быка на тонкие тесемки, связала из них верёвку, окружила ей большую территорию и основала на ней крепость. Вопрос о том, какую форму должна иметь территория, ограниченная верёвкой, чтобы ее площадь была наибольшей? Заметим, что в действительности верёвка Дидоны не замкнута, ее концы выходят на берег моря. Мы же рассматриваем замкнутые кривые. Хотя решение задачи о нахождении замкнутой кривой, охватывающей наибольшую площадь, было известно ещё до н.э., строгое его доказательство было дано лишь в конце ХIХ века. До этого Якоб Штейнер дал пять доказательств, но в каждом из них подразумевалось существование такой кривой. Доказательство существования выходит за рамки школьного курса математики, я не буду приводить его, оставлю для следующего исследования, лишь сказав, что среди простых замкнутых кривых заданной длины наибольшую площадь охватывает окружность.

 Психологи - экспериментаторы любят рассказывать историю об одном профессоре, который изучал способность шимпанзе решать задач. В центре комнаты к потолку достаточно высоко, чтобы обезьяна подпрыгнув, не могла достать его, был подвешен банан. В комнате не было ничего, кроме нескольких ящиков из-под фруктов , разбросанных как попало. Тест заключался в том, чтобы проверить, догадается ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду в центре комнаты, взобраться на вершину пирамиды и схватить банан. Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая за тем, как экспериментатор расставляя ящики по комнате. Она терпеливо ждала, пока профессор не оказался посредине комнаты, и, когда тот проходил под бананом, внезапно вспрыгнула ему на плечи и, оттолкнувшись от него взмыла в воздух, схватила банан и была такова.

 В математике очень много задач, которые могут иметь неожиданные решения. Приведу пример.

 Перед вами 10 бумажных стаканчиков, расставленных в ряд. В первые пять стаканчиков налит сок, остальные пустые. Можно ли переставить 4 стаканчика так, чтобы пустые и полные чередовались? Здесь переставлять 4 стаканчика необязательно, можно решить, переставив всего 2 стаканчика. Как это возможно? Решение таково: берем второй стаканчик и переливаем его содержимое в седьмой, а содержимое четвертого стаканчика – в девятый.

Есть задачи, для решения которых не нужны особые познания в математике, но необходимо мыслить последовательно. В математике интересными задачами, бросающими вызов исследователю, принято считать такие, для решения которых не существует готовых методов. Здесь рассмотрим задачи, позволяющие отточить свое остроумие, научить внимательно следить за всякого рода словесными «ловушками», расставленными в условиях задачи и оценить преимущества поиска возможного подхода к решению задачи.

 1. Некая дама остановила такси и попросила отвести ее домой. По дороге она без умолку болтала и довела шофера до крайнего исступления. « Прошу прощения, мадам, но я не слышу ни слова из того, что вы говорите. Я глух и мой слуховой аппарат, как назло сегодня целый день не работает. Услышав это, дама смолкла. Но когда она вышла , она вдруг сообразила, что шофер вовсе не был глух. Как дама догадалась, что шофер ей солгал? ((если шофер был глухим, то как бы он услышал, куда ему следует ехать?)

2. Представьте себе, что вы водитель такси. Ваша машина окрашена в желтый цвет, и вы ездите на ней 7 лет. Один стеклоочиститель у машины сломан, карбюратор барахлит. Бак вмещает 20 галлонов бензина, но сейчас наполнен лишь на три четверти. Сколько лет водителю? (Лет водителю столько же, сколько вам)

3. Расстояние между двумя веревками, свисающих с потолка в пустой комнате, достаточно велико, поэтому держась за одну веревку, невозможно дотянуться до другой. Как связать свободные концы веревок, не пользуясь ничем, кроме ножницы? (Привязав ножницы к одной веревке, раскачать их, как маятник. Подтянув другую веревку к маятнику и дождавшись, когда ножницы качнутся навстречу, вы сможете поймать и связать обе веревки)

 Простое решение Как с помощью линейки проще измерить диагональ куба?

Решение. Разумеется, длину диагонали можно определить, измерив линейкой длину ребра и дважды применить теорему Пифагора. Но диагональ куба можно измерить линейкой проще. Поставив куб на край стола, отмерим отрезок, равный по длине ребру куба, и концы отрезка пометим, после чего сдвинем куб на длину ребра вдоль края стола. Измерив расстояние от угла стола до вершины куба, найдем диагональ.

 Каждый, изучавший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Но мало кому известно, что эта фундаментальная теорема может быть «доказана» с помощью простого лоскутка бумаги.
Мы ставим слово «доказана» в кавычки, потому что это не доказательство в строгом смысле слова, а скорее лишь наглядная демонстрация. Но всё же этот остроумный приём очень любопытен и поучителен. Вырезают из бумаги треугольник любой формы и перегибают его сначала по линии АВ (рис.6) так, чтобы основание треугольника D легло на себя. Затем, снова разогнув бумагу, перегибают треугольник по линии СD так, чтобы вершина А попала в точку В. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CG так, чтобы точки E и F попали в точку В, получим прямоугольник CGHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1, 2, 3) составляют в сумме два прямых. Необычайная наглядность и простота этого приёма позволяют познакомить даже детей, не изучавших геометрию, с одной из её важнейших теорем. Для знающих же, геометрию он представляет интересную задачу - объяснить, почему такое сгибание бумажного треугольника всегда даёт желаемый результат.

Теорема Пифагора.

Показать, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

 Решение.

 Нарисуем два равных квадрата, стороны которых равны сумме обоих катетов данного на рисунке треугольника. Затем в полученных нами в квадратах произведём построения, указанные на рис. 40, 41. Здесь от каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получатся равные. Эти остатки на рис. 40, 41 заштрихованные; но на рис. 40 получаются два квадрата построенные на катетах данного треугольника, а на рис. 41 – квадрат, построенные на гипотенузе, и сумма площадей первых двух квадратов равна, следовательно, площади второго. Мы доказали, таким образом, знаменитую теорему Пифагора.

Другое доказательство той же теоремы найдем, если на взятом бумажном квадрате сделаем сгибы, как указано на рис.42 здесь GEH есть прямоугольный треугольник и площадь квадрата, построенного на ЕН, равна сумме площадей квадратов, построенных на EG и GH.

Призовем теперь на помощь ножницы и будем не только перегибать, но и разрезать бумагу. Так мы придем ко многим интересным и поучительным задачам.

1. Пусть на листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы одним прямолинейным разрезом вырезать из этого листа данный многоугольник?

 Решение. Рассмотрим простейший случай – прямоугольный треугольник. Проведем биссектрисы и из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. (рис1) По этим лучам и будем сгибать лист бумаги. Все границы треугольника – его стороны- оказались лежащими на одной прямой. Сделаем вдоль нее разрез. Развернем отрезанный уголок – это наш изначальный треугольник.

2. Вырезать одним разрезом пятиконечную звезду.

 Решение. Нарисуем пятиконечную звезду – невыпуклый многоугольник с 10 вершинами. Задача облегчается симметричностью звезды. Проведем лучи, исходящие из центра и проходящие через вершины. По этим лучам сложим лист бумаги и отрежем уголок. После разворачивания получим вырезанную звезду. И дырку в виде такой же звезды. [ 1 ]

Выполняя эту работу я многое узнавала о пользе интуиции, здравого смысла и других не совсем обычных приемах решения задач. Выяснила, что задача, которая кажется нам трудной, может иметь неожиданно простое решение, и что можно почти всегда найти его, хотя ожидают от нас прямое классическое решение Причудливая логика научного открытия далека от логики формальной, а обстоятельства, способствующие прорыву на более высокую ступень познания, далеко не всегда соответствуют важности момента. Скрытая работа мысли происходит не только в тиши кабинета, у чертежной доски и в рабочее время, но и в самой, казалось бы, неподходящей обстановке, и малейшего толчка извне иногда бывает достаточно, чтобы сумерки ожидания осветились яркой вспышкой мгновенного озарения и разрозненные фрагменты загадочной мозаики сложились в единую картинку. Так давайте же искать и находить неожиданные и красивые решения задач, применяя не только идеи математики, но и свою интуицию, здравый смысл.