Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
Каталог файлов
Выбор наилучшего
| 17.02.2016, 20:54 |
Введение
Среди различных математических задач встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т. п. Эти задачи очень привлекательны, потому что они чем-то похожи на наши повседневные проблемы. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за наименьшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать, т.е. ищем оптимального решения поставленной задачи. У всех этих жизненных проблем есть одно общее свойство: необходимо добиться наилучшего результата, выполнив определенные условия. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение некоторой функции. Оба понятия — максимум и минимум — объединяются одним термином "экстремум".
Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского «оптимум» - наилучший). Многие задачи поиска оптимальных решений могут быть решены с помощью специальных методов линейного программирования, существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики и геометрии. В этой работе я решила рассмотреть задачи на выбор наилучшего варианта, т.к. они нужны для приобретения практических навыков применений математических знаний, и потому представляют познавательный интерес, в этом и актуальность моей работы.
Цель моей работы: поиск оптимальных решений практических задач, а задачи: рассмотреть практические задачи на оптимизацию, изучить приемы нахождения наилучшего варианта при решении практических задач и научиться решать такие задачи методом линейного программирования. рассмотреть методы решения прикладных экстремальных задач различными способами, использование собранного материала в учебном процессе.
Объектом исследования являются задачи на оптимизацию, а предметом экстремальные задачи из повседневной жизни.
Методы исследования: изучение математической литературы, математические методы, графические методы.
Основная часть
1. Задачи на выбор наилучшего варианта в школьной математике
Сначала попробую систематизировать и обобщить основные теоретические факты по данной теме, полученные при изучении геометрии и алгебры.
1.1. Прямоугольники и трапеции с наибольшей площадью.
На уроках геометрии мы находили фигуры с наибольшей площадью. Рассмотрение этого пункта начнём с решения задачи. Проблема заключается в нахождении фигуры наибольшей площади при фиксированной длине ограничивающей её линии.
Задача. В роковой в своей жизни день Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчёта Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?
Решение. Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь.
Вот ряд примеров:
14∙ 6 = 84 кв. вёрст
13∙ 7 = 91 кв. вёрст
12∙ 8 = 96 кв. вёрст
11∙ 9 = 99 кв. вёрст
Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:
18∙ 2 = 36 кв. вёрст
19 ∙1 = 19 кв. вёрст
19,5∙ 0,5 = 9,75 кв. вёрст.
Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10∙10 = 100 кв. вёрст. Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить.
1.1.1. Замечательное свойство квадрата
Замечательное свойство квадрата – заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Приведём строгое доказательство.
Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться  . Докажем, что укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь  квадрата больше площади  прямоугольника:  . Так как правая сторона этого неравенства равна  , то всё выражение принимает вид:  или  .
Но последнее неравенство очевидно: квадрат всякого количества, положительного или отрицательного, больше нуля. Следовательно, справедливо и первоначальное равенство, которое привело нас к этому.
Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.
Отсюда следует и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это не верно и что существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, получим квадрат имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. В итоге получили, что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.
Знакомство с этими свойствами квадрата помогло Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, например, 36 вёрст, он пошёл бы по границе квадрата со стороной 9 вёрст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 квадратную версту, - на 3 квадратные версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперёд ограничился какой-нибудь определённой площадью прямоугольного участка, например, в 36 квадратных вёрст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого - 6 вёрст.
1.1.2.Участки другой формы
Но, может быть, ещё выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой - четырёхугольной, треугольной, пятиугольной и т. д.
Познакомимся со следующими утверждениями, которые и отвечают на поставленный вопрос.
Во-первых, из всех четырёхугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырёхугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем 100 квадратными вёрстами (считал, что максимальный дневной пробег его - 40 вёрст).
Во-вторых, квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет сторону вёрстам, а площадь (по формуле  , где S - площадь, а - сторона)  кв. вёрст, т. е. меньше даже, чем у той трапеции, которую Пахом обошёл. Дальше будет доказано, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат).
Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. д. равного периметра, то здесь неравенство его прекращается: правильный пятиугольник обладает наибольшей площадью, правильный шестиугольник - ещё большей, и т. д. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника. При периметре в 40 вёрст его сторона, площадь (по формуле ) равна 
кв. вёрст.
Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на 115 -78, т. е. на 37 квадратных вёрст больше, чем в действительности, и на 15 квадратных вёрст больше, чем дал бы ему квадратный участок.
1.2.Треугольник с наибольшей площадью
Мы уже заметили раньше, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Докажем это.
Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром  выражается так:  , откуда площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и её квадрат  , или выражение  , где р, полупериметр, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение  становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трёх множителей есть величина постоянная,
 заключаем, что произведение их достигает наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство  , откуда  .
Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.
1.3. Выбор наилучшего варианта с помощью квадратичной функции
Из уроков алгебры нам известно, что экстремальная задача — математическая модель процессов реальной действительности. Рассмотрим задачу: Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га сельскохозяйственных угодий выражена функцией у =9+9х-1,5х2, где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в млн. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход? Каков будет этот доход?
Так как квадратичная функция принимает своё наименьшее или наибольшее значение в вершине параболы, то для нахождения наименьшего или наибольшего значения достаточно найти координаты вершины Из курса восьмого класса нам известно, что любую квадратичную функцию у=ах2+вх+с с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у=ах2+вх+с=а ( х+в/2а)2+(4ас-в2)/4а
Основные возможности квадратичной функции, в плане решения оптимизационных задач, связаны именно с таким её представлением: у =а (х-х0)2+у0 Далее, учитывая знак числа а, то есть направление ветвей параболы, можно без труда найти наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции. Теперь сформулируем теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции Теорема о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Если а>0 ( а<0), то функция у=ах2+вх+с при х = -в /2а принимает наименьшее (наибольшее) значение, равное 4ас-в2/4а.
Решение: Функция у =9+9х-1,5х2 принимает наибольшее значение при х=-9/2(-1,5) , х=3 (тыс. га.),
унаиб=4(-1,5)9-92/4(-1,5) , у=22,5(млн. руб.).
Ответ: хозяйство будет иметь наибольший доход на 100 га сельск. угодий, равный приблизительно22,5 млн. руб., при площади 3 тыс. га.
Любая экстремальная задача может быть решена по следующей схеме, состоящей из пяти этапов: проанализировав условие задачи, определяют, наибольшее или наименьшее значение какой величины следует найти (часто говорят: какую величину следует оптимизировать?). Одну из неизвестных величин принимают за независимую переменную и обозначают её буквой х. Определяют границы изменения х. Исходя из условия задачи величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, выражают через х и известные величины (чаще всего зависимость выражается с помощью функции у=f(х))).
Находят средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х .
Интерпретируют результат для рассматриваемой задачи. Записывают ответ.
2. Содержательные экстремальные задачи
Наиболее интересными и захватывающими из школьных задач являются содержательные экстремальные задачи. Решение почти каждой из них представляет собой маленькое исследование с красивой постановкой вопроса, со своей интригой неочевидностью, а иногда и полной неожиданностью ответа. Здесь имеет место применение математического моделирования к реальным ситуациям, что всегда чрезвычайно важно и к тому же часто ещё и эстетически выразительно. С помощью скромного набора средств удаётся поставить и решить сложные и интересные проблемы. Решение содержательной экстремальной задачи чётко разделяется на два этапа.
Стандартная последовательность шагов первого этапа решения содержательной экстремальной задачи следующая:
1) абсолютно отчётливо выяснить, какая величина должна принимать экстремальное значение; это будет исследуемая нами функция;
2) выразить эту функцию через данные задачи, а также через величины, отсутствующие в условии (т.е. переменные), введя их в нужном количестве;
3) если исследуемая функция зависит от нескольких переменных (а чаще всего, за исключением совсем простых задач, так и бывает), то нужно, обнаружив связи между переменными, выразить их через одну единственную переменную;
4) найти множество изменения той единственной переменной, через которую оказалась выраженной исследуемая функция; для этого нужно выявить и выписать ограничения на переменные (причём на все переменные, а не только на ту единственную, к которой всё свелось в итоге!) и решить полученную систему неравенств.
Рассмотрим задачу Дидоны:
Сестра финикийского царя Дидона, спасаясь бегством, прибыла к североафриканскому берегу и упросила местного царя продать ей немного земли. Тот, чтобы отделаться от просительницы, назначил ей огромную сумму за участок, который можно покрыть (или ограничить) воловьей шкурой. Это условие было, однако, принято: заплатив требуемые деньги, хитроумная финикиянка разрезала шкуру на тоненькие полоски, связала из них длинную верёвку и огородила ею большой участок, примыкавший к берегу моря (прямолинейному в том месте). Здесь и возник впоследствии знаменитый Карфаген.
Приведём формулировку задачи Дидоны: «Частью границы фигуры может быть заданная прямая, а оставшаяся часть границы имеет фиксированную длину. Какова должна быть
эта часть границы, чтобы фигура имела максимальную площадь?». Решением задачи Дидоны является полукруг, диаметр которого лежит на заданной прямой.
Дальнейшее обобщение задачи Дидоны может быть сформулировано так: если фигура примыкает не к прямой, а к ломаной, дуге окружности, параболе или вообще произвольной линии
3. Задачи линейного программирования
Линейное программирование - это направление математического программирование изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения.
Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение - значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.
1. Представьте себе, что вы – директор школы-интернета, и вам нужно составить меню для столовой на неделю. Детальное составление меню, конечно, дело повара, но вот проследить за тем, что денег будет истрачено не слишком много, нужно вам.
Вам известно, какие продукты можно купить, и их цены. Но, кроме цен, у них есть еще множество качеств, например, калорийность, содержание тех или иных витаминов и т.п. Поэтому, кроме цен, при покупке продуктов вам нужно учитывать довольно много условий. Если к тому же на складе много продуктов, то задача становится весьма запутанной и без вычислительной машины решить ее трудно. Однако, если продуктов и условий мало, справиться с ней несложно.
Рассмотрим такой пример. Пусть меню уже почти полностью составлено, и вам нужно проследить только за тем, чтобы в нем оказалось достаточно витаминов А и С, причем на складе есть вишни и абрикосы. Один килограмм стоит 25 р., один килограмм абрикосов – 30 р., а содержание витаминов приведено в таблице 1. Вам нужно, чтобы недельный рацион содержал не меньше 6кг витамина А и не меньше 75 кг витамина С. были минимальны?
Таблица 1
Витамины
Фрукты |
А (г в кг) |
С (г в 1 кг) |
| Вишни |
3 |
150 |
| Абрикосы |
24 |
75 |
Прежде всего задачу нужно сформулировать математически. Итак, пусть в рацион войдут х кг вишен и у кг абрикосов. Их стоимость составит 0,25х+0,3у рублей, содержание витамина А – 0,003х+0,024 у кг, а витамина С – 0,15х+0,075у кг. Нам нужно найти такие х и у, для которых выполняется система неравенств
0,003х + 0,024у≥6
0,15х + 0,075у≥75
х≥0, у≥0
(1)
и z=0,25х+0,3у было бы минимальным. На плоскости хОу легко указать множество точек М, удовлетворяющую системе (рис 1). Его называют многоугольником решений системы. Ясно, что прямые z=0,25х+0,3у при различных z они удаляются от начала координат. Поэтому нам нужно найти ту из прямых этого направления, которая имеет с многоугольником М общую точку и ближе всего к началу координат. Легко сообразить, что такая прямая не должка пересекать М по внутренним точкам – тогда бы она не была самой «низкой» (рис 2). Следовательно, она должна проходить через одну из вершин многоугольника но тогда эта точка – вершина С. Итак, нужно купить 400кг вишен и 200кг абрикосов – лучший вариант найден.
Заключение
Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.
В данной работе я рассмотрела задачи на поиск оптимальных, наилучших вариантов при решении различных проблем – задач. Доказана мною практическая ценность геометрии в повседневной жизни, показана связь геометрии с окружающим миром. Не вызывает сомнений, что эти задачи должны уметь решать все.
Изучение свойств квадратичной функции также важно, так как находим им практическое применение, т. е. используем эти свойства при нахождении наибольших и наименьших значений функции для поиска наилучшего варианта.
Изучив методы линейного программирования легко решить житейские проблемы с их помощью. В моей работе в приложении рассмотрены задачи на поиск наилучшего варианта, которые можно использовать на уроках математики.
Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний.
Список литературы:
- Научно-популярный физико-математический журнал академии наук СССР и академии педагогических наук СССР « Квант», 1978 года
- Интернет:
- Учебник 8-го класса по математике «Мордкович»
- Учебник 7,8,9 классов по геометрии «Атанасян»
Сборник задач
Задача 1:
Рассмотрим задачи, которые можно решить, применив стандартную последовательность шагов: «Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?»
Как это сделать?»
«Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?»
«Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трёх сторон металлической сеткой длиной
200 м, и площадь её при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
.Как известно, решением рассматриваемой задачи является прямоугольник, у которого сторона, примыкающая к стене здания, в два раза длиннее, чем сторона, перпендикулярная стене.)
(Алгоритм решения) Геометрическая интерпретация экономических задач даёт возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задача линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых более трёх, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства задач линейного программирования, приводит к идее её решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.
Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т.е. для случая двух переменных  и . Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме
 ->max
Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел  поставим в соответствие точку на этой плоскости.
Обратим прежде всего внимание на ограничения  . Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида  . Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству  . Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.
Пусть  . Если взять  , то получится  . Если взять  , то получится  . Таким образом, на прямой лежат две точки  и  . Через эти две точки можно провести прямую.
Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение и вычислить соответствующее ему значение .Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части  , а в другой наоборот  .Узнать, в какой полуплоскости какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).
Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой Условия не отрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x1 = 0; х2 = 0 Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.
Рассмотрим нахождение экстремума линейной функции на примере:
Построим допустимую область. Теперь начнем изображать прямые вида 
Пусть, например, L=2. Тогда прямая проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым. Выделенная вершина лежит на пересечении прямых  и поэтому имеет координаты  . Это и есть решение нашей задачи, т.е. есть оптимальный план задачи (1.41). При этом значение целевой функции  , что и дает её максимальное значение. Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль.
Ну, а если допустимая область неограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.
Подводя итог этим примерам, можно сформулировать следующие положения:
1.Допустимая область - это выпуклый многоугольник;
2.Оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста);
3.Ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи.
Задачи решаемые с помощью целевой функции графическим способом[1]:
№1)Задача на использование сырья.
Некоторое производство выпускает продукцию двух видов:  . Изготовляется эта продукция из четырех видов сырья: S1, S2, S3 и S4. Запас сырья и расход его на единицу каждого вида продукции задается Таблицей
Доход производства от единицы  равен 7 денежным единицам, а от единицы  — 5. Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы доход производства был наибольшим?
№2)Задача о пашне.
Колхоз намерен выделить под кормовые культуры 100 га пашни. Эту пашню предположено занять кукурузой и свеклой, причем свеклой решено занять не менее 40 га. Требуется установить, как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось наибольшее число кормовых единиц. При этом должно быть учтено следующее: 1 ц кукурузного силоса содержит 0,2 ц кормовых единиц, 1 ц свеклы — 0,26 ц кормовых единиц, на возделывание 1 га кукурузного поля необходимо 38 человеко-часов труда механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а 1 га, занятого свеклой, соответственно — 43 и 185, ожидаемый урожай кукурузы 500 ц с 1 га, а свеклы — 200 ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур колхоз может выделить 4000 человеко-часов труда механизаторов и 15 000 человеко-часов ручного труда.
№3) Деталь некоторой машины изготовляют два цеховых участка А и В. Производственные возможности этих участков характеризуются следующими данными (табл. 7). Разработать наиболее оптимальный план изготовления этой детали участками А и В.
Решим еще одну задачу: зверосовхоз выращивает песцов и лисиц; он имеет 10000 клеток, причем в одной клетке могут жить две лисицы или один песец; по плану нужно вырастить не менее 3000 лисиц и не менее 6000 песцов; за сутки одной лисице скармливают 4 кормовых единицы, а песцу – 5 единиц; всего за сутки разрешается истратить не больше 80000 кормовых единиц; сколько нужно вырастить песцов и лисиц, чтобы средняя стоимость одной шкурки была минимальна, если стоимость выращивания одной лисицы – 45 руб., а одного песца – 25руб.?
Решение: Пусть х – число выращиваемых лисиц, а у – песцов. Тогда
4х+5у≤80000
0,5х+у≤10000
х≥3000 (2)
у≥6000
Средняя стоимость одной шкурки:
Как вы видите, здесь функция, значение которой нам нужно сделать минимальным, не является линейной. Она задается отношением двух линейных функций. Такие функции называются дробно-линейными.
Задачи, в которых система ограничений задается линейными неравенствами, а функция, минимум которой мы ищем, является дробно-линейного программирования. Как вы увидите из решения нашей задачи, они довольно похожи на задачи линейного программирования.
На рисунке 3 приведен многоугольником F решений системы (2). Из него видно, что в системе (2) первое неравенство можно отбросить – получится равносильная система. Функция принимает постоянные значения на прямых, проходящих через начало координат. Нам нужно найти ту из этих прямых, которая пересекает многоугольник F и на которой значение функции z минимально. Так же, как и выше, ясно, что эта прямая не должна содержать внутренних точек многоугольника F. Поэтому достаточно сравнить между собой прямые ОА и ОВ. Ответ: х=3000, а у=8500.
Заметим, что при решении этой задачи нам повезло – мы получили целый ответ. Ведь если бы число лисиц или песцов не оказалось целым, мы не смогли бы ответом воспользоваться. Кроме того, если бы мы получили нецелый ответ, мы ничего не могли бы сказать о правильном ответе. Оказывается, можно так подобрать условия задачи, что эти ответы будут отличаться сколь угодно сильно.
В тех случаях, когда ответ должен даваться целыми числами, мы имеем дело с задачами целочисленного программирования. Решение таких задач значительно сложнее решения задач без этого ограничения.
Следующая задача:
Два судна должны перевезти грузы в соответствии с таблицей 2.
| Груз |
Перевезти не менее тонн |
|
А
Б
В
Г |
21000
10000
4000
4000 |
|
| Эксплуатационные издержки за один рейс в рублях |
12000 |
16000 |
| Прибыль от одного рейса в рублях |
7000 |
9000 |
Известно, что первое судно может сделать не больше 5 рейсов, а второй – не больше 9. составить план перевозок, который обеспечивал бы
а) максимальную прибыль;
б) наименьшие затраты на перевозку одной тонны груза.
|
| Категория: Мои файлы | Добавил: Shibertui |
| Просмотров: 595 | Загрузок: 170 | Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ] |
|
